ГЕОМЕТРІЯ 9 клас

27 травня 2020 року

Тема уроку:  Повторення. Розв'язування вправ.

Сьогодні ви будете розв'язувати вправи у вигляді тесту, що знаходиться за посиланням https://naurok.com.ua/test/join?gamecode=8360271 . (ті, хто не писав підсумкової контрольної роботи проходять цей тест також). Для тих учнів, які  хочуть підвищити  оцінку, з'явилася нагода зробити це зараз.
 Час для проходження тесту обмежений -  40 хв.  Тест можна проходити тільки один раз.



25 травня 2020 року

Тема уроку: Повторення.  Контрольна робота

Варіанти залишаються ті ж самі.

Роботу виконуємо на подвійних аркушах, записи ведемо охайно.

Текст контрольної роботи:

Копії виконаних робіт  відправляйте на пошту sh52003@ukr.net зразу після закінчення уроку.




20 травня 2020 року

Тема уроку: Повторення.  Розв'язування вправ.

Завдання для самостійної роботи :

18 травня 2020 року
Тема уроку: Повторення.  Декартові  координати на площині.

Повторюючи  даний розділ геометрії, потрібно  знати  формули для знаходження середини відрізка, довжини відрізка, рівняння кола, рівняння прямої.
Ці формули розміщені на вкладці "Повторення"

Розв'язування типових задач  по даній темі перегляньте в наступних відео:

Задача 1.  https://www.youtube.com/watch?v=n_2aIdLL_og

Задача 2.  https://www.youtube.com/watch?v=5Vr9o8KjPy4

   Задача 3. https://www.youtube.com/watch?v=dwEXGlmpPGs

Задача 4.  https://www.youtube.com/watch?v=Cz_lC_trUXI

  Задача 5.  https://www.youtube.com/watch?v=OtuDFT4qv2w

Задача 6. https://www.youtube.com/watch?v=NrlDLPFIR4c

  Задача 7   https://www.youtube.com/watch?v=ymmyt1Bcd_0

  Задача 8.  https://www.youtube.com/watch?v=lD8WuLJxb20

Задача 9    https://www.youtube.com/watch?v=FkA2P2sn_fg

Задача 10 https://www.youtube.com/watch?v=q4L5nBWX0Ck

Задача 11.  https://www.youtube.com/watch?v=xXTOY9-NQ0Q

Задача 12.   https://www.youtube.com/watch?v=hbgpk6A1wXo

Задача 13.  https://www.youtube.com/watch?v=wM_Co3iY57M

      Вправи для самостійного виконання:

https://sites.google.com/view/dpa9/%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%96-%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B0-%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D1%96#h.p_Jj75L7OD5Ye8

13 травня 2020 року
Тема уроку: Повторення.  Трикутники.
Сьогодні ми з вами повторимо основні властивості  певних видів трикутників, теореми для роботи з трикутниками і пройдемо тестування (колективно)

 

6 травня 2020 року
Тема уроку: Повторення. Узагальнення знань з теми "Чотирикутники"

1. Заповніть таблицю, записуючи в клітинці, що є перетином рядка і стовпця, ,,+”, якщо чотирикутник має відповідну властивість, і ,,-”, якщо ні.

Кожна правильна відповідь оцінюється  1 балом. 

Вид чотирикутника Властивості	Парале лограм	Прямо кутник	Ромб	Квадрат	Трапеція
Протилежні сторони попарно паралельні
Всі кути рівні
Всі сторони рівні
Діагональ поділяє на 2 рівних трикутника
Протилежні сторони і кути рівні
Діагоналі в точці перетину діляться навпіл
Сума кутів прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180˚
Діагоналі рівні
Діагоналі взаємно перпендикулярні
Діагоналі є бісектрисами кутів

    Розв'яжіть задачі:  

1)

Дано:

ABCD – рівнобчна трапеція,

 ВК – висота, АК = 4 см, КD = 16 см

Знайти:

периметр ABCD

2)  Між вулицею та паралельним їй тротуаром розташована зелена зона завширшки 2,8 м.  У середині газону посаджена клумба завширшки 1,2 м  і завдовжки 2,5м. Обчисли, на якій відстані від краю вулиці розташований край клумби.  

3) Обчисли сторону й тупий кут ромба, якщо  ∠MNK=60°  та OM= 2,6см. 

Перейдіть за посиланням  https://naurok.com.ua/test/join?gamecode=380140   та виконайте тест.

Результати  виконання пересилайте мені  на електронну пошту.

                                                           4 травня 2020 року

                Тема уроку: Повторення. Вписані та описані  чотирикутники.

1.    Сформулюйте властивість і ознаку вписаного чотирикутника.

                    2.    Сформулюйте властивість і ознаку описаного чотирикутника.

                    3.    Які наслідки з даних теорем ви знаєте?

Розгляньте розв'язання  де-яких задач:

1. Коло, вписане в рівнобічну трапецію, поділяє його бічну сторону точкою дотику на відрізки, довжина більшого з яких дорівнює 8 см. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо її периметр дорівнює 60 см.

♦ 

CD + AB = BC + AD = P : 2 (за теоремою про описані чотирикутники).

Нехай відрізок СК = х, тоді:

АВ + CD = 8 + х + 8 + х = 30,

16 + 2х = 30,

2х = 14,

х = 7.

Розглянемо Δ СОК (∠ К = 90о, оскільки радіус перпендикулярний до дотичної в точці дотику, ОК – радіус вписаного кола):

СО2 = ОК2 + СК2 (за теоремою Піфагора), СО2 = ОК2 + 49 = r2 + 49.

Розглянемо Δ СОМ (∠М = 90о, ОМ = r):

СМ2 = СО2 – ОМ2 = 49 + r2 – r2 = 49,

СМ = 7 см.

Отже, ВС = 2СМ = 2·7 = 14 см. ♦

2. Основи трапеції, у яку можна вписати коло, дорівнюють 7 см і 9 см. Знайти периметр трапеції.

♦ Якщо трапецію можна описати навколо кола, то сума її протилежних сторін однакова (за теоремою про описані чотирикутники). Тоді сума основ дорівнює сумі бічних сторін, тобто 7 + 9 = 16 (см). Периметр – це сума всіх сторін трапеції, звідси Р = 16 + 16 = 32 (см) ♦

3. Рівнобічну трапецію, один з кутів якої дорівнює 72о, вписано в коло. Кут між діагоналями трапеції, що лежить проти бічної сторони, дорівнює 36о. Знайдіть положення центра кола, описаного навколо трапеції, відносно трапеції.

♦ 

∠С = 180о – ∠ А = 180о – 72о = 108о, (властивість протилежних кутів описаного чотирикутнка).

∠ВКС=(180о – 36о) = 144о         

З трикутника ВКС  (ВК=КС): ∠ ВСК = (180о – 144о) : 2 = 36о : 2 = 18о, 

∠ АСD = 108о – 18о = 90о 

∠ АСD – вписаний ⇒ АD – діаметр ⇒ центр кола є серединою більшої основи.♦

4. Три кути чотирикутника, вписаного в коло, взяті по порядку слідування, відносяться як 2 : 6 : 7. Знайдіть кути чотирикутника.

♦ За властивістю кутів чотирикутника вписаного в коло, сума двох протилежних кутів дорівнює 180о. Нехай задані кути чотирикутника відповідно дорівнюють 2х, 6х та 7х. Тоді: 2х + 7х = 180о ⇒ х = 20о. А отже, кути чотирикутника відповідно дорівнюють: 40о, 120о, 140о та 180о – 120о = 60о.♦

5. Чи можна описати коло навколо чотирикутника АВСD, якщо:

                                                 1) ∠ А = 33о, ∠ С = 137о;

2) ∠ В = 69о, ∠ D = 111o.

♦ За теоремою, навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180о. Перевіримо чи виконується ця умова для кожного випадку.

1) ∠ А + ∠ С = 33о + 137о = 170о, значить, навколо такого чотирикутника не можна описати коло;

Випадок 2  розгляньте самостійно.

Теоретичний матеріал з даної теми викладений на вкладці "Повторення".

Розв'язуючи наступний тест, перевіримо як ви засвоїли тему.

                1. Діагональ квадрата 10 см. Радіус кола, описаного навколо квадрата дорівнює :

                                   а) 5см; б) 10 см; в) 20 см; г) 40 см;  д) 15 см.

        2. Бічна сторона рівнобедреної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 10 см. 

                      Знайти довжину середньої лінії трапеції:

                       а) 40см; б) 20см; в) 10см; г) 5 см; д) 2 см.

3. Висота рівнобічної трапеції 20 см. Знайти радіус вписаного кола .

                       а) 20 см; б) 5 см; в) 10 см; г) 18 см; д) 30см.

            4.  Периметр рівнобічної трапеції, описаної навколо кола дорівнює 32 см.  

                 Знайти середню лінію трапеції:

                             а) 32 см; б) 16 см ; в) 8 см ; г) 10 см;  д ) 3,2 см.

      5.    Діагоналі трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Тоді центр 

     описаного кола знаходиться  на :

                   а) середині меншої основи; 

                   б) середині більшої основи; 

                   в) на середній лінії трапеції; 

                   г) в точці  перетину діагоналей; 

                   д) в точці перетину висоти і  середньої лінії трапеції.

     6.  В чотирикутник можна вписати коло, якщо :

                  а) сума всіх кутів чотирикутника 360 ;

                  б) в одній точці перетинаються бісектриси внутрішніх кутів

                                 чотирикутника;

                  в) в одній точці перетинаються серединні перпендикуляри  до сторін 

                          чотирикутника;

                  г) один кут  чотирикутника дорівнює 90 градусів;

                  д) сума протилежних кутів чотирикутника  180 градусів.

      7. Радіус кола, вписаного в квадрат дорівнює 8 см. Знайти периметр

                               квадрата.

                   а) 8 см; б) 4 см; в) 2 см; г ) 64 см; д) 32 см.

      8. У паралелограм можна вписати коло, якщо :

                             а) всі сторони рівні;

                             б) один кут прямий;

                             в) протилежні кути рівні;

                             г) діагоналі точкою перетину діляться пополам;

                             д) всі кути прямі.

       9. Кут між дотичною і радіусом дорівнює:

                             а) 180   ;  б) 60; в)  90; г) 40; д) 120.

      10. Радіус вписаного  кола  в прямокутну трапецію з меншою бічною стороною 10 см                                    дорівнює:

                                  а) 10 см ; б) 40 см;  в) 60 см;  г ) 5 см;  д) 30 см.

Задачі для самостійного опрацювання:

1.          Суми протилежних сторін чотирикутника дорівнюють 34 см і 36 см . Чи можна у цей чотирикутник вписати коло? Чому?

2.          Два сусідні кути чотирикутника дорівнюють 120⁰ і 150⁰. Знайдіть решту кутів чотирикутника, якщо його можна вписати в коло.

3.          Периметр чотирикутника ABCD, описаного навколо кола, дорівнює

36 см. AB=10 см, CD=8 см, BC=AD. Знайдіть сторони BC і AD.

29 квітня  2020 року
Тема уроку: Повторення. Чотирикутники. Самостійна робота. 

Сьогодні  ви самостійно  будете розв'язувати   задачі. Для отримання індивідуальних консультацій я буду чекати вас у Viber.
 Задачі 1-5 потребують тільки відповіді позначеної буквою. Задачі 6-8  повинні мати коротку  відповідь. Задача   9  повинна містити розгорнуту відповідь з повним обгрунтуванням  всіх етапів розв'язання. 

Завдання 1. (0,8)

 Завдання 2.(0,8)

Завдання 3.(0,8) 

 Завдання 4.(0,8)

 Завдання 5.(0,8)

 Завдання 6. (1,5)

Завдання 7. (1,5) 

 Завдання 8.(1,5) 

Завдання 9. (2,5)                                 

                

   Перевірку результатів буду здійснювати вибірково. Повідомлю в кінці уроку.

При підготовці до наступного уроку повторіть все про вписані та описані чотирикутники.

27 квітня 2020 року

Тема уроку: Повторення. Чотирикутники. 

Сьогодні ми продовжимо розв'язувати задачі на чотирикутники. В кінці уроку буде тестування на знання теоретичного матеріалу.
Обговоримо результати  виконання  тих завдання, які ви робили самостійно.
 (обговорення в чаті)

Розв'язування задач. 

Задача 1. Діагональ прямокутника ділить його кут у відношенні 1:2. Знайдіть діагональ прямокутника, якщо сума його обох діагоналей і менших сторін дорівнює 24.

Задача 2. Прямокутник ділиться бісектрисою кута на чотирикутник і трикутник, різниця периметрів яких дорівнює 20. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 80 см.

Задача 3. У рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу сторону на відрізки 10 і 20. Знайдіть відношення основ трапеції.

Задача 4. Діагоналі паралелограма дорівнюють 9 см і 13 см, а одна із сторін на 5 см менша за іншу. Знайти (у см) периметр паралелограма.

Задача 5.  Висота ромба, що проведена з вершини тупого кута ділить сторону на два рівних відрізки. Знайти (у см) меншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 40 см.

Для перевірки теоретичних знань  перейдіть за посиланням  https://naurok.com.ua/test/join?gamecode=431656    та виконайте тест. 

Вправи для самостійного виконання:

1. Кути чотирикутника пропорційні числам 1, 2, 3, 4. знайти градусну міру найбільшого кута чотирикутника.

2. Сума двох кутів паралелограма дорівнює 220°. Знайти менший кут паралелограма.

3. У паралелограмі АВСD бісектриса кута В ділить сторону АD на відрізки АК = 5 см, КD = 7 см. Знайти довжину сторони СD.

4. У паралелограмі із вершини гострого кута проведено дві висоти, які утворюють кут 130°. Знайти гострий кут паралелограма.

5. Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 40°. Який кут утворює діагональ із більшою стороною прямокутника?

6. Периметр прямокутника дорівнює 46 см, а його діагональ - 17 см. Знайти довжину меншої сторони прямокутника.

7. Сторона ромба на 12 см менша за його периметр, а кут ромба дорівнює 60º. Знайти більшу діагональ ромба.

8. ABCD - ромб (малюнок), ABD = 70°. Знайти градусну міру кута CDK.

9. Периметр квадрата дорівнює 80 см. На якій відстані від сторони квадрата знаходиться точка перетину його діагоналей?

10. У рівнобедрений трикутник, гіпотенуза якого дорівнює 18 см вписали квадрат так, що дві його вершини лежать на гіпотенузі, а дві інші - на катетах. Знайти сторону квадрата.

22 квітня 2020 року

Тема уроку: Повторення. Чотирикутники. 

Теоретичний матеріал для повторення теми "Чотирикутники"  викладено на вкладці "Повторення".  Перейдіть туди і пригадайте вивчене.

Розв'язування задач

Задача 1. Знайдіть усі кути паралелограма, якщо один з його кутів становить 25% іншого кута. 

Задача 2. Знайдіть сторони паралелограма, периметр якого дорівнює 96см, а одна зі сторін на 6 см більша за іншу.

Задача 3. Знайдіть усі кути паралелограма, якщо сума двох його кутів дорівнює 74°.

Задача 4. У паралелограмі ABCD на стороні ВС вибрано точку F так, що кут BAF = куту FAD, BF:FC = 3:2. Знайдіть периметр паралелограма, якщо AD = 20 см.

Задача 5. Одна сторона паралелограма дорівнює 6 см, а друга – на 2 см більша. Знайти периметр паралелограма.

Задача 6. Сторона ромба утворює з його діагоналями кути, градусні міри яких відносяться як 4:5. Знайдіть кути ромба.

Задача  7. Сторона ромба утворює з його діагоналями кути, один з яких на 10° більший за інший. Знайдіть кути ромба.

Задача  8. Тупий кут ромба дорівнює 100⁰. Який кут утворює зі стороною ромба його діагональ, проведена за вершини гострого кута?

Задача 9. Діагональ прямокутника ділить його кут у відношенні 1:2. Знайдіть діагональ прямокутника, якщо сума його обох діагоналей і менших сторін дорівнює 24.

Задача 10. Прямокутник ділиться бісектрисою кута на чотирикутник і трикутник, різниця периметрів яких дорівнює 20. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 80 см.

Задача 11. У рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу сторону на відрізки 10 і 20. Знайдіть відношення основ трапеції.

Самостійно виконайте задачі № 12-17:

(Перевірку результатів виконання буду здійснювати індивідуально)

Задача  12. Бісектриси гострих кутів при основі трапеції перетинаються на її верхній основі. Знайдіть верхню основу трапеції, якщо сума її бічних сторін дорівнює 20 см.

Відповідь: 20. 

Задача 13. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 12 см. Знайдіть периметр трапеції, якщо її діагональ є бісектрисою гострого кута.

Відповідь: 30 см.

Задача 14. Знайдіть кути рівнобічної трапеції, якщо різниця двох її кутів дорівнює 36 °

Відповідь: 72 ° і 108 °

Задача 15.  Висота рівнобічної трапеції поділяє більшу основу на відрізки 6 см і 16 см. Знайти середню лінію трапеції.

Відповідь: 16 см.

Задача 16.  Основи трапеції відносяться як 2:3, а середня лінія дорівнює 25 см. Знайти основи трапеції.

Відповідь: 20 см, 30 см.

Задача 17.  Гострий кут прямокутної трапеції дорівнює 60⁰, довжина середньої лінії – 16 см, а більшої  бічної сторони 12 см. Знайти довжини основ трапеції.

Відповідь: 13 см, 19 см

15 квітня 2020 року

                     Тема уроку: Контрольна робота   з теми " Геометричні перетворення"

Підготуйте  подвійні аркуші, підпишіть їх та вкажіть номер варіанту.

Текст завдань контрольної роботи:

13  квітня  2020 року

Тема уроку: Узагальнення та систематизація  знань з теми " Геометричні перетворення"

Перевірка теоретичних знань.

Для перевірки знань з теми "Гомотетія. Подібність фігур"  перейдіть за посиланням   https://naurok.com.ua/test/join?gamecode=440213   та виконайте тест. (10 хв)
Розв'язування задач.

1.    При паралельному перенесенні  образом точки С(-3;1) є точка С₁(2;5).Знайдіть координати вектора паралельного перенесення.

2.   Знайдіть координати точки, симетричної точці А(-4;5) відносно початку координат.

3.   Знайдіть  координати точки, симетричної точці В(-2;-1) відносно осі абсцис.

4.   Знайдіть координати точки, симетричної точці С(0;3) відносно осі ординат.

5.    Відповідні сторони подібних трикутників відносяться як 1:4. Як відносяться їх площі?

6.    При паралельному перенесенні  А(4;-2)® В(-1;1), а С®D(-4;2). Знайдіть координати 

       точки С.

7.  Відповідні сторони подібних трикутників відносяться як 2:5, а площа більшого з них дорівнює 100 см². Знайдіть площу меншого трикутника.

8.   Продовження бічних сторін АВ і СД  трапеції АВСД перетинаються в точці М. Знайдіть     площу  трапеції, якщо ВС:АД=2:5, якщо  площа трикутника ВМС=12см². 

9.   Знайдіть площі подібних трикутників, якщо їхні периметри відносяться як 3:4, а сума їх    площ дорівнює 290см².

10. Записати рівняння прямої, яка симетрична прямій у=х-2 відносно точки А(-2;1).

Обговорення  способів розв'язування задач та отримані результати проведемо в чаті.

Вказівки до розв'язування задач.

    

 6. Знайти формули паралельного перенесення, використовуючи точки А і В. Потім застосувати ці формули для точок С і Д та знайти координати точки С.
             

   

 7.  Ця задача "перегукується" із задачею №5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності. Нехай площа меншого трикутника - х см².  Отримаємо  пропорцію х:100=4:25.  Звідки х=16см².

 8.  Якщо ви продовжите бічні сторони трапеції, то отримаєте трикутник АМД. Цей трикутник подібний до трикутника ВМС. (Чому?) Використовуючи спосіб розв'язування попередньої задачі, знайдете площу трикутника АМД. Різниця площ трикутників АДМ та ВМС дорівнює площі трапеції.

 9.  Розв'язування даної задачі аналогічне до розв'язування задач № 7 та №8.

 10. Якщо прямі  симетричні, то вони паралельні. Тому кутові коефіцієнти  шуканої прямої та заданої однакові. k=1. Візьмемо довільну точку В, яка належить прямій у=х-2.  В(х;х-2).

      Пряма у=х+в симетрична  прямій у=х-2. Тоді точка В1(х;х+в) належить цій прямій і симетрична точці В відносно точки А.  Маємо: -2=(х+х)/2. Звідки х=-1. Аналогічно

                  1=(х-2+х+в)/2. Підставляємо х=-1 та знаходимо в=6.  Отримали відповідь: у=х+6.

 Вправи для самостійного виконання:   Виконати тести на ст. 204-206. Повторити теоретичний матеріал ( параграф 17-20). Підготуватися до контрольної роботи.

8 квітня  2020 року

Тема уроку: Гомотетія. Подібність фігур. Розв'язування задач.

Повторення вивченого. 

Дайте, будь ласка, відповіді на питання:

     1. Що таке гомотетія?

     2. Як відносяться площі подібних фігур?
     3. Що потрібно щоб визначити гомотетію?
     4. Як відносяться периметри  подібних фігур?
     5.  Як розташовані фігури відносно центра гомотетії, якщо коефіцієнт гомотетії від'ємний?
     6.  Чи всі подібні фігури є гомотетичними?
     7.  Гомотетія  є переміщенням?
     8. О- центр гомотетії, точка А1 гомотетична точці А відносно центра О. Як знайти                           коефіцієнт гомотетії?

Перевірка  самостійного  виконання  вправ  № 20.21, № 20.24, 20.36. 

( Називаю прізвища учнів, які здають роботу на перевірку. З рештою перевіряємо відповіді, обговорюємо  розв'язування.)

   Розв'язування вправ

        Перед вами текст самостійної роботи. Виконуйте І варіант цієї роботи. 

Способи роз'язування та результати обговорювати будемо у чаті.

Самостійно виконайте  ІІ варіант  цієї роботи. Ще раз перегляньте конспект попереднього уроку.  На наступному уроці буде тестування по темі "Гомотетія. Подібність фігур."

6  квітня  2020 року
Тема уроку: Гомотетія. Подібність фігур.

На минулому уроці ви писали самостійну роботу. З результатами виконання цієї роботи ви вже знайомі. Аналіз  самостійної роботи  проведіть самостійно. Розв'язання  перед вами

Обговорення проведемо в чаті у вайбері. 

Для ознайомлення з новим матеріалом перегляньте відео-урок. Для цього перейдіть за посиланням: гомотетія

Конспект цього уроку:

Гомотетія з центром O і коефіцієнтом k — це перетворення, в якому кожна точка P відображається такою точкою P1,що OP1−→−=k⋅OP−→,деk≠0.

Гомотетія — це перетворення подібності. Це перетворення, в якому виходять подібні фігури (фігури, в яких відповідні кути рівні, а сторони пропорційні).

Для гомотетичних фігур F і F1 діють формули відношення периметрів PF1PF=k і площ SF1SF=k2 подібних фігур.

Зверни увагу!

Будь-які два кола гомотетичні.

Аби гомотетія була визначена, повинен бути заданий центр гомотетії і коефіцієнт.

Це можна записати: гомотетія (O;k).

На малюнку з фігури F можна отримати фігуру F1 гомотетією (O;2).

 

Якщо фігури розташовані на протилежних напрямах від центру гомотетії, то коефіцієнт від'ємний.

На наступному малюнку з фігури F можна отримати фігуру F1 гомотетією (O;−2).

Центр гомотетії може розташовуватися і всередині фігури.

Сірий трикутник із зеленого трикутника ABC отриманий гомотетією (O;12).

Гомотетія (O;−1) — це центральна симетрія або поворот на 180°.

У даному випадку фігури однакові.

Зверни увагу!

На відміну від гомотетії, геометричні перетворення (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне перенесення) є рухом, тому в них фігура відображається у фігуру, рівну даній.

Гомотетичні фігури подібні, але подібні фігури не завжди гомотетичні (в гомотетії важливе розташування фігур).

В орнаментах (на малюнку — фрактали) можна бачити безліч подібних фігур, але зазвичай вони не гомотетичні, тому в них неможливо визначити центр гомотетії.

 

Розв'яжемо декілька вправ. Це № 20.17, № 20.20, №20.23(1), № 20.35

Вказівки до розв'язання:

№20.17.  Якщо Д1 середина АД, то АД=2АД1. Отже,  k=2. Образи точок В та С побудуйте самостійно.

№20.20    Потрібно згадати, що медіани трикутника перетинаються і точкою перетину діляться  у відношенні 2:1, починаючи з вершини. 

1)  k= BB1/ВМ, k=3/2=1,5.

2)  М як центр гомотетії  належить відрізку АА1, отже k<0/

      MA=2MA1  k=-0.5

3)   k=CM/С1С,  k=2/3.

№ 20.23  О(0;0) - центр гомотетії, тоді ОА1=2ОА. Точка А -середина ОА1. За формулою для знаходження координат середини відрізка знаходимо координати точки А. 

Відповідь:  А9-4;2).

№20.35  М- центр гомотетії. А- образ В. Отже,  МА=kМВ. За формулою для знаходження  відстані між двома точками, знайдіть довжини МА та МВ.  k=МА/МВ.

Відповідь: k=0.5.

Вправи для самостійного виконання:

№ 20.21, № 20.24, 20.36. Теоретична частина: параграф 20 або тут (вище) .

1 квітня 2020 року
Тема уроку:  Розв'язування вправ на тему "Симетрія. Паралельне перенесення. Поворот."  Самостійна робота.

На минулому уроці ви познайомилися з такими геометричними перетвореннями як                       паралельне перенесення та поворот. 

Перевіримо виконання  вправ  №19.4, 19.5, 17.27, 17.28.  (Обговорення в чаті).

 Дайте відповіді на питання:

1.   Дайте означення паралельного перенесення та повороту.

2.   Перелічіть основні властивості паралельного перенесення та повороту.

3.  При паралельному перенесенні точка А(1; -1) переходить у точку В(3; -1). Визначте, які з                           наведених тверджень є правильними, а які — неправильними:

а) Дане паралельне перенесення задається формулами х1 = х + 2, у1 = у.

б) Початок координат при цьому перенесенні переходить у точку (-2; 0).

в) Точка В при цьому паралельному перенесенні переходить у точку (5; -1).

г) Паралельне перенесення, при якому точка В переходить у точку А, задається формулами                          х1 = х + 2, у1 = у + 2.

(Обговорення в чаті).

Виконання самостійної роботи.

Копії виконаних робіт   перешліть на мою електронну адресу.

30  березня  2020 року
Тема  уроку: Поворот. Паралельне перенесення.

На початку  заняття  повторимо вивчене на минулому уроці.

Підготуйте відповіді  на такі питання :

1. Чим є центр симетрії  О для відрізка АВ, якщо А симетрична В відносно точки О?

2.  Точка М має координати  (х;у). Які координати матиме точка С, симетрична М                         відносно:  а) початку координат; б)  осі абсцис; в) осі ординат.

3. Якщо коло симетричне колу (при будь-якій симетрії), то  змінюється  а)  радіус кола;               б)  центр кола;  в) і центр кола і його радіус.

4. Які з відомих вам фігур мають і вісь симетрії і центр симетрії.

 Відповіді на ці питання ми обговоримо в групі у Viber за 5 хв.  Обговорення допоможе               вам виконати тести.  Перейшовши за посиланням, вам відкриється вікно, в якому ви                   чітко вкажете своє прізвище та ім'я і натиснете "приєднатися". З тестуванням не                           зволікайте, час обмежений.        перейти до тестування

Тепер перейдемо до пояснення нового матеріалу.

 Паралельне перенесення — перетворення, при якому точки зміщуються в тому           самому напрямі на ту саму відстань (рис. 169).

Іншими словами, паралельним перенесенням фігури F в напрямі променя ОА на відстань а називається перетворення F на фігуру F1, унаслідок якого кожна точка X фігури F переходить у точку X1 фігури F1 у напрямі променя ОА на відстань а.

Введемо на площині декартові координати х і у. Перетворення фігури F, при якому довільна точка (х; у) переходить у точку (x + a; y + b), де а, b — ті самі числа для всіх точок (х; у), називається паралельним перенесенням (рис. 170).

Паралельне перенесення задається формулами  Ці формули виражають координати х1, у1 точки фігури F1, у яку переходить точка (х; у) фігури F при паралельному перенесенні.

Властивості паралельного перенесення

1. 1)  Паралельне перенесення є рухом.
2. 2)  При паралельному перенесенні точки переміщуються вздовж паралельних прямих (або однієї прямої) на ту саму відстань.
3. 3)  Пряма переходить у паралельну пряму (або в себе); промінь переходить у співнапрямлений промінь. Два промені називаються співнапрямленими, якщо дані промені паралельні й лежать по один бік від прямої, що проходить через їх початки, або промені лежать на одній прямій і один із них є частиною другого. На рис. 171 промені ОА і ВС, ОА і МА, ВС і МА — співнапрямлені.

1. 4)  Які б не були точки А і А1 існує єдине паралельне перенесення, при якому точка А переходить у точку А.
2. 5)  Якщо точка А1(х1; ух) є образом точки А(х; у) при паралельному перенесенні, то  де а, b — деякі числа.

   

Розв'яжемо   вправи: 

1. 1.   Паралельне перенесення задається формулами х1 = х + 3, y1 = y – 3. У яку точку при цьому паралельному перенесенні переходить точка А(2; 3)?

         Розв'язання:   Використаємо формули  паралельного перенесення 

        В нашому випадку a=3. b=-3. x та y - це координати точки А, x=2, y=3.  

     Тоді x1= 2+3=5,  y1=3-3=0. Отже, точка А при заданому паралельному перенесенні переходить у точку А1(5;0).

       2.   Паралельне перенесення задається формулами х1 = х + 1, у1 = у + 2. Точка А при цьому переходить у точку В(2; 3). Знайдіть координати точки А.

Розв'язання:  За формулами паралельного перенесення  a=1, b= 2. Точка В є образом точки А. Це означає, що x1=2, y1=3. Отримаємо рівняння : 2=х+1  та 3=у+2. Розв'язавши їх, маємо  х=1, у=1. А(1;1)

1. 3.   Точка А(1; 2) при паралельному перенесенні переходить у точку В(3;2). Запишіть формули цього паралельного перенесення. 
2. Розв'язання: Знову використаємо формули паралельного перенесення
3.                                                    
4. В - образ точки А. Отже, (х1;у1) - це координати точки В,  (х;у) - координати точки А. Підставляємо дані числа у формули паралельного перенесення і знаходимо a  та b.             3=1+а , а= 2
5.                      2=2+b,  b=0.
6. Формули паралельного перенесення матимуть вигляд:  x1=x+2
7.                                                                                                y1=y
8. 
   
9. 4.   Побудуйте паралелограм ABCD. Виконайте його паралельне перенесення:

а) у напрямі АВ на відстань АС;

           Для ознайомлення з геометричним перетворенням  поворот, перейдіть за посиланням "поворот" і завантажте презентацію. Перегляд цієї презентації  допоможе вам розібратися з побудовами і властивостями повороту.

IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв'язування вправ самостійно.

1. а)   Чи існує паралельне перенесення, при якому точка А(1; 3) переходить у точку В(0; 2), а точка D(2; 2) переходить у точку С(1; 1)? 
2. Вказівка: Спочатку знаходимо а і b для паралельного перенесення, що переводить А в В.  (див. задачу 3 вище). Потім так само знаходимо а і b для паралельного перенесення, що переводить Д в С. Якщо в обох випадках а і b однакові, то таке паралельне перенесення існує, інакше - не існує.
3. 
   
4. б)   Унаслідок паралельного перенесення точка А(-3; 1) переходить у точку
5.  В(3; -2). У яку точку при такому перенесенні переходить початок координат?
6. Вказівка: Спочатку знаходимо а і b для паралельного перенесення, що переводить А в В.  (див. задачу 3 вище). Використовуючи отримані формули, знаходимо точку-образ початку координат. (див. задачу 1 вище.)

1. в)   Паралельне перенесення задано формулами х1 = х – 2, у1 = у + 2. Запишіть рівняння кола, у яке переходить коло (x – 1)^2 + (y – 1)^2 = 4;

Уточнення: Вираз (x – 1)^2  означає : квадрат різниці (х-1) і відповідно (y – 1)^2 - квадрат різниці (у-1).
Вказівка:  При паралельному перенесенні  кола зміняться тільки координати центра кола. Задане рівняння кола є образом  шуканого рівняння кола. Вам потрібно знайти координати центра (див. задачу  2 вище) і записати відповідне рівняння
     г) Побудуйте паралелограм ABCD. Виконайте його паралельне перенесення у напрямі АС на відстань АС. (див. задачу 4 вище)

 Для  повного засвоєння знань вам потрібно:
1.   Вивчити теоретичний матеріал.  параграф 19, ст. 178-179;
                                                             параграф 17 ст 160-161
2.   Розв'язати задачі  №19.4, 19.5, 17.27, 17.28.

Завдання  класу для перевірки знань на наступному уроці

1. 1.   Дайте означення паралельного перенесення та повороту
2. 2.   Перелічіть основні властивості паралельного перенесення та повороту
3. 3.  При паралельному перенесенні точка А(1; -1) переходить у точку В(3; -1). Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними.

а) Дане паралельне перенесення задається формулами х1 = х + 2, у1 = у.

б) Початок координат при цьому перенесенні переходить у точку (-2; 0).

в) Точка В при цьому паралельному перенесенні переходить у точку (5; -1).

г) Паралельне перенесення, при якому точка В переходить у точку А, задається формулами х1 = х + 2, у1 = у + 2.

19 березня 2020 року

Тема уроку:   Центральна та осьова симетрія.

                 Сприйняття та усвідомлення поняття симетрії відносно точки.

        Означення: Точка Х і Х’ називається симетричними відносно точки О, якщо точка О—середина відрізка ХХ’.

 Точка О називається центром симетрії

Перетворенням симетрії (симетрією) відносно точки О називають таке перетворення фігури F у фігуру F’  унаслідок якого кожна точка Х  фігури F переходить у точку Х фігури F’, симетричну точку Х відносно точки О. При цьому фігури F і F’  називаються симетричними відносно точки О.
Для наглядного сприйняття  перегляньте  відео : Осьова симетрія

Симетрією відносно точки називається також центральною симетрією

Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру 𝐹 у себе, то така фігура називається центрально-симетричною, а точка О-центром симетрії фігури 𝐹.

Теорема (основна властивість центральної симетрії)

Центральна симетрія є переміщенням

Доведення.

Нехай унаслідок центральної симетрії відносно точки О точки Х   і У переходять у точки Х’  і  У’.  Розглянемо загальний випадок коли точки О, Х і У не лежать на одній прямій.

Трикутники XOY і X’OY’  рівні за першою ознакою

• ХО=Х’О за означенням центральної симетрії;
•  YО= Y’О за означенням центральної симетрії;
• ∠XOY=∠X’OY’—як вертикальні.

Отже, XY=X’Y’ .Таким чином, центральна симетрія зберігає відстань між точками, отже, є переміщенням.

Із доведеної теореми випливає, що центральна симетрія має всі властивості переміщення

У випадку, коли точка О лежить на прямій 𝒂, симетрія відносно цієї точки переводить довільну точку С  у точку С’ прямої 𝒂, а саму точку О-в себе. Отже, пряма 𝒂’—образ прямої 𝒂—проходить через точки О  і   С’. А оскільки через дві точки можна провести лише одну пряму, то пряма 𝒂’  збігається з прямою 𝒂. Таким чином, симетрія відносно точки О переводить пряму 𝒂  в себе.

Цікаво, що пряма є центрально-симетричною фігурою, причому центром симетрії прямої є будь-яка її точка. Як правило, геометричні фігури мають не більше одного центра симетрії.

         Сприйняття та усвідомлення поняття симетрії відносно прямої.

Означення. Точки С і С’ називаються  симетричними відносно прямої l, якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка СС’ і проходить через його середину.

Пряма l називається віссю симетрії

            Перетворенням симетрії (симетрією) відносно прямої l називають таке              перетворення фігури F у фігуру F’  унаслідок якого кожна точка Х  фігури F переходить у точку Х фігури F’, симетричну точку Х відносно прямої l.
                  При цьому фігури F і F’  називаються симетричними відносно прямої l.

                   Симетрією відносно прямої називається також осьовою симетрією.
                 Для наглядного сприйняття  перегляньте  відео : Центральна симетрія

Якщо перетворення симетрії відносно прямої 𝑙 переводить фігуру 𝐹  у себе, то така Фігура називається симетричною відносно прямої 𝑙, а сама пряма 𝑙—віссю симетрії фігури 𝐹. 

           Теорема (основна властивість осьової симетрії)

                                                  Осьова симетрія є переміщенням

 Доведення теореми зробіть самостійно.

Таким чином, осьова симетрія зберігає відстань між точками, тобто є переміщенням.
Теоретичний матеріал, викладений вище  можна переглянути у вашому підручнику. Це параграф 18 і 19 (до сторінки  177 включно)
Виконайте  завдання № 18.19, №18.20, №19.15, № 19.17
 На наступному уроці   буде тестування. 

   16  березня 2020

  Тема уроку:  Контрольна робота  на тему "Правильні  многокутники. Довжина кола. Площа круга"