11 клас Готуємося до ЗНО

 

Прогресії 

1. Арифметична прогресія

     Арифметичною прогресією називають послідовність a1,a2,...an,...$a_1,a_2,...a_n,...$, кожен член якої,починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число d, яке називають різницею арифметичної прогресії:

an+1=an+d,n∈N$a_{n+1}=a_n+d,n\in N$.

    Наприклад: 1, 2, 3, 4,…, n,… - арифметична прогресія, у якій a1=1$a_1=1$, d=1; 2, 4, 6,…, 2n,… - арифметична прогресія, у якій a1=2$a_1=2$, d=2.

     Визначається n-й член арифметичної прогресії за формулою

an=a1+d(n−1)$a_n=a_1+d(n-1)$,

де n – номер члена, an$a_n$ - n-й член, a1$a_1$ - перший член, d – різниця прогресії.

     Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів:

an=an−1+an+12$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.

     Якщо всі члени деякої числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові an=an−1+an+12$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

     Сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному першого і n-го членів цієї прогресії, помноженому на їх кількість:

Sn=a1+a2+...+an=a1+an2⋅n$S_n=a_1+a_2+...+a_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

     Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти і за формулою

Sn=2a1+d(n−1)2⋅n$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$.

2. Геометрична прогресія

     Геометричною прогресією називають послідовність b1,b2,...,bn,...$b_1,b_2,...,b_n,...$, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q (q≠0, |q|≠1), яке називають знаменником геометричної прогресії:

bn+1=bn⋅q$b_{n+1}=b_n\cdot q$, де q≠0,|q|≠1,n∈N$q\ne 0,|q|\ne 1,n\in N$.

    Наприклад: 1, 3, 9,…, 3^n-1,… - геометрична прогресія, у якій b1=1$b_1=1$, q=3;

3,1,13,19,...3n−2,...$3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},..{.3}^{n-2},...$ - геометрична прогресія, у якій b1=3,q=13$b_1=3,q=\frac{1}{3}$.

     Визначається n-й член геометричної прогресії за формулою

bn=b1⋅qn−1$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$,

де n – номер члена, bn$b_n$ - n-й член, b1$b_1$ - перший член, q – знаменник прогресії.

     Модуль кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх членів:

|bn|=bn−1⋅bn+1−−−−−−−−√$|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$.

     Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого задовольняють умові

|bn|=bn−1⋅bn+1−−−−−−−−√$|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$,

то ця послідовність є геометричною прогресією.

     Суму перших n членів геометричної прогресії можна знайти і за формулою

Sn=b1+b2+...+bn=b1⋅1−qn1−q$S_n=b_1+b_2+...+b_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$.

3. Нескінченно спадна геометрична прогресія

     Нескінченно спадна геометрична прогресія – це нескінченна геометрична прогресія, знаменник q якої за модулем є меншим за 1, тобто |q|<1.

     Сумою всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії

Sn=b1+b2+...+bn+...$S_n=b_1+b_2+...+b_n+...$

є границя, до якої прямує сума n її перших членів при нескінченному зростанні n (n→∞$n\to \mathrm{\infty }$).

S=limn→∞Sn$S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n$.

     Ця сума визначається за формулою

S=b11−q$S=\frac{b_1}{1-q}$.

    Приклад. Обчисліть суму.

1+12+14+18+116+...=11−12=2$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

     Відповідь: 2.